Matemáticas Bioenriquecidas

por Miguel Ángel Martín

ÍNDICE

 

TEMA I. Funciones y comportamientos asintóticos

  1. Las funciones de la realidad: qué estudiar.
  2. El patrón potencial.
  3. Los exponentes de la vida: leyes potenciales en Biología.
  4. Patrones exponencial y logarítmico.
  5. El crecimiento bacteriano y las reacciones en cadena.
  6. El patrón oscilatorio.
  7. Osciladores biológicos.
  8. Patrones especiales.
  9. Orden de crecimiento de los patrones elementales.
  10. Estudio de funciones por razonamiento directo.
  11. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA II. La derivada: análisis local y global de funciones.

  1. La derivada y sus significados.
  2. La función derivada, derivadas sucesivas.
  3. Derivadas relacionadas: la regla de la cadena y derivación implícita.
  4. Funciones con ruptura puntual de la suavidad.
  5. Aproximación lineal por la derivada. La diferencial.
  6. Orden de aproximación por la diferencial.
  7. Análisis “local” por la derivada.
  8. Análisis en un intervalo: el Teorema del Valor Medio (TVM).
  9. Aplicaciones del Teorema del Valor Medio.
  10. Información de la segunda y sucesivas derivadas.
  11. Problemas de optimización.
  12. Optimización en Biología.
  13. Antiderivadas y ecuaciones diferenciales.
  14. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA III. Aproximación de funciones mediante polinomios y series.

  1. Aproximación de funciones mediante polinomios: polinomio de Taylor.
  2. Resto de Taylor y orden de la aproximación.
  3. Manejando desigualdades para acotar el error.
  4. Series numéricas. Convergencia.
  5. Cuatro hechos fundamentales en torno a la convergencia.
  6. Series, geometría y crecimientos tumorales.
  7. Series de Taylor: de la aproximación a la representación.
  8. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA IV. La integral y sus aplicaciones.

  1. Qué es integrar.
  2. Integrar de forma heurística: el método exhaustivo.
  3. Integrar tasas o tendencias.
  4. Integral de una función. Propiedades.
  5. El Teorema fundamental del Cálculo.
  6. Consecuencias del Teorema fundamental del Cálculo.
  7. Valor promedio de una función.
  8. Valor promedio de glucosa en sangre mediante la hemoglobina glicosilada.
  9. Un enfoque simbólico-intuitivo aplicando la integral.
  10. Integrales impropias (singulares).
  11. Integrales en intervalos no acotados (infinitos).
  12. Claves de la convergencia en intervalos infinitos.
  13. Integrales de funciones discontinuas.
  14. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA V. Espacios vectoriales: el marco de lo lineal.

  1. Los problemas lineales y sus elementos.
  2. Los espacios IRn.
  3. Espacios vectoriales o lineales.
  4. ¿Por qué estos axiomas?
  5. Propiedades de los espacios vectoriales.
  6. Subespacios vectoriales o lineales.
  7. Sistemas de generadores. Independencia lineal.
  8. Bases. Coordenadas respecto de una base.
  9. Ecuaciones de cambio de base.
  10. Ecuaciones paramétricas y cartesianas de un subespacio.
  11. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA VI. Transformaciones lineales: la proporcionalidad vectorial.

  1. La proporcionalidad vectorial: Nuevos ingredientes en la proporcionalidad.
  2. Transformaciones lineales. Propiedades.
  3. Determinación explícita de transformaciones lineales. Ejemplos.
  4. Determinación implícita y matriz estándar.
  5. Imagen y núcleo. Rango y nulidad.
  6. Transformación inversa.
  7. Matriz de una transformación respecto de una base.
  8. Matrices semejantes: misma acción y distinta representación.
  9. Iteración de transformaciones lineales: patrones fractales para la Biología.
  10. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA VII. Autovalores y autovectores: el “espectro” de una transformación.

  1. Buscando la “mejor base”. Matrices diagonalizables.
  2. Autovectores y autovalores. Ecuación característica de una transformación lineal.
  3. Autovectores en Biología: distribución estable de edades.
  4. Condiciones para la diagonalización.
  5. Números complejos y autovalores complejos.
  6. Acción geométrica de las matrices con autovalores complejos.
  7. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA VIII. Sistemas dinámicos: entender y modelar los sistemas evolutivos.

  1. Fenómenos dinámicos o realidad cambiante.
  2. Representación matemática: los Sistemas Dinámicos (SD).
  3. SD en tiempo discreto: la evolución en fotografías.
  4. SD lineales en tiempo continuo: la evolución en vídeo.
  5. Análisis cualitativo: comportamiento asintótico.
  6. Ejemplos de problemas dinámicos en Medicina y Biología.
  7. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

TEMA IX. Más allá de la linealidad: una mirada a la complejidad de los sistemas (tema de lectura).

  1. Leyes simples y comportamientos complejos en dinámica de poblaciones.
  2. Iteración, complejidad y emergencia de estructuras intermedias y de la heterogeneidad.
  3. Los patrones geométricos de la complejidad.
  4. Niveles intermedios de incertidumbre.
  5. Complejidad en la realidad y en las Ciencias.
  6. Actividades complementarias, fuentes y vínculos.

ANEXO 1: Derivadas, crecimiento, máximos y mínimos.
ANEXO 2: Cálculo de antiderivadas (primitivas).
ANEXO 3: Método de Gauss. Matriz inversa.

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